à Matrices :

matrice à n lignes et p colonnes.

t.g. (terme générique), terme a(i,j) situé à la i ième ligne et à la j ième colonne.

Ensemble des matrices : M(n,p)(K)

M(Be,Bf)(f)=M(Bf)(f(Be))

Matrice élémentaire(i,j) : matrice avec que des 0 sauf au terme (i,j) où on a un 1, de t.g. d (i,i0)*d (j,j0).

Produit matriciel et par blocs

M(Bf)(f(S))=M(Be,Bf)(f)*M(Be)(S)

M(gof)=M(g)*M(f)

Une matrice M(n,n) est inversible si $ M | MM=In

A matrice, tA est une matrice de t.g. a(i,j)=a(j,i)

t(AB)=tBtA

AÎ GLn(K) Û tAÎ GLn(K) et dans ce cas t(A-1)=(tA)-1.

A est symétrique si tA=A et antisymétrique si tA=-A

Matrices triangulaires supérieures si " (i,j)Î [[1,n]], i>j Þ a(i,j)=0 (inférieures ...)

Matrice diagonale si " (i,j)Î [[1,n]], i¹ j Þ a(i,j)=0 dans ce cas le produit matriciel est le produit terme à terme.

Matrices scalaires : l In

à Changement de base :

Th. : M(B)(S)=M(B)(B)*M(B)(S)

M(B)(B) : matrice de passage de B à B :P(B,B)

Elles sont transitives, (P(B,B))-1=P(B,B)

Chgmt de bases pour les applic. lin. : M(Be,Bf)(f)=(P(Bf,Bf))-1*M(Be,Bf)(f)*P(Be,Be)

è La trace ne dépend pas de la base choisie.

Soit p une proj. de matrice M alors dim(E1)=rg(p)=Tr(M)

Calcul dinverse de matrice : On transforme en système entre les nouvelles et les anciennes coordonnées, les coef. de chaque ligne sont pris en colonne dans la matrice.

à Rang, équivalences des matrices :

rg(S)=dim(Vect(S))

rg(f)=dim(Im(f))=rg(f(Be))

Sc : syst. des vecteurs colonnes dune matrice

Sl : syst. des vecteurs lignes dune matrice

rg(M)=rg(Sc(M))

Matrice type de rang r : matrice nulle sauf des 1 sur les r premières valeurs de la diagonale

équivalence de matrices : M~N Û $ (P,Q)Î GLn(K)*GLp(K) | M=PNQ

M~N Û rg(M)=rg(N)

Manipulations élémentaires (réversibles).

On ne change pas le rang dune matrice en effectuant des manip. élémentaires.

MÎ GLn(K) Û rg(M)=n Û M~In

MÎ GLn(K) Û on peut, par manip. elem. sur les lignes seulement, tansformer M en In

On obtient M-1 en effectuant les mêmes manip. sur In.

à Déterminants :

(n! termes)

si det dordre 3 à Règle de Sarrus

Th. : det(tA)=det(A)

n-linéairité : f : E1xE2x...xEnà F est n-linéaire si linéaire pour toutes les applic. partielles.

f est symétrique : " (x1,...,xn)e En, " s de [[1,n]], f(x(s (1)),...x(s (n)))=f(x1,...,xn)

antisym. ou alternée sil y a un signe -

f alternée Û f(x1,...,xn)=0

Th. : lapplic. det(B) est lunique f forme n-lin. alternée sur E tq f(B)=1

det(B)(B)=1/(det(B)(B)

Th. dorientation : R : BRB Û det(B)(B)>0 relation déquiv. Qui partage B en 2 classes déquiv.

Th. : det(MM)=det(M)*det(M)

det(fog)=det(f)*det(g)=det(gof)

Développement par rapport à une ligne ou une colonne (Ne pas oublier le signe - éventuel).

Matrice mineure de A : matr carrée de taille (n-1) ou on a enlevé la i ieme ligne et la j ieme colonne

Un cofacteur est le det dune matrice mineure.

Rq : Si on échange 2 lignes ou colonnes, le det est * par -1 (plus galement : e (s ) )

Si 2 lignes sont proportionnelles : det = 0

Si il y a une ligne ou colonne formée de 0 : det = 0

Mais, on ne change pas le det en ajoutant une c.l. des autres lignes à une ligne (ou colonne).

Det dune matrice triangulaire : produit des termes de la diagonale (valable pour det par blocs).

Th. : A*t com A= t com A*A=det(A)In

A-1=1/det(a)*t com A

 


Retour au menu principal