à Relations binaires :

Soit R une relation binaire. Elle est :

relation dordre : réflexive, antisymétrique, transitive

relation déquivalence : réflexive, symétrique, transitive

à Structures :

Loi de composition interne : définie de ExE sur E

" (x,y,z)Î E3, soit V une l.c.i.

Monoïde : E muni dune loi associative et ayant un neutre (commutatif Si loi commutative)

Groupe : G tq G monoïde et symétrisé (abélien si commutatif)

Anneau : A muni de 2 lois + et * tq (A,+) groupe abélien

associative, distributive/+, munie dun neutre (commutatif avec * commutative)

anneau intègre : commutatif tq " (a,b)Î A, a*b=0 Þ (a=0 ou b=0)

A: ensemble des éléments inversibles de A.

Corps : anneau commutatif tq 0 1 (cest un anneau intègre où tous les éléments 0 sont inversibles)

à Ensembles finis :

Toute partie non vide de N a un plus petit élément.

E, F 2 ensembles de cardinal p et n : Lensemble des applications E dans F est de card n^p

Lensemble des injection de E dans F est de card n!/(n-p)!

Lensemble des bijections de E dans F est de card n!

Arrangements : A(n,p) = n!/(n-p)!

Combinaison : nb de parties à p él. : C(n,p) = n!/(p!(n-p)!)

Th. du binôme de Newton :

à Les réels :

S est le sup si cest le plus petit el. des majorants de A

M=Max(a) Û (M=Sup(A) et MÎ A)

Q est dense dans R : " (a,b)Î E, a<b, $ rÎ Q | a<r<b

+ Valeurs absolues : x=y Û |x|=|y| Û x=y ou x=-y

| |x|-|y| | |x+y| |x|+|y|

|xy| = |x| |y|

C est convexe dans R si " (a,b)Î C, a b Þ [a,b]Ì C

à Les complexes :

exp(iq )=cos q +i sin q

exp(iq )^n=exp(inq )

arg(zz)=arg(z)+arg(z)

arg (1/z)=-arg (z)

U : ens des complexes de module 1

Exp complexe : exp(z)=exp(a)exp(ib)=exp(a)(cosb+isinb) avec z=a+ib

La restriction de exp à {a+ib (a,b)Î Rx[a ,a +2p ]} est bij. sur C*

Recherche des racines carrées : Z=A+iB z=a+ib racine de Z

a=(A+Ö (A+B))/2 b=-(A+Ö (A+B))/2

ex : racine de 5+12i a-b=5 2ab=12 ...

Linéarisation : cosmx sinnx =

Délinéarisation : cos (px)=Re(exp(ipx)) de même pour sin ...

cos(px) =
sin(px) =

1+x+x+ ... +xn-1=(xn-1)/(x-1) avec x 1 (suites géométriques)

Un={exp(i2kp /n ; kÎ Z}


Retour au menu principal