à Fractions rationnelles :

R=P/Q avec PÙ Q=1 et Q normalisé : écriture canonique

Pôle de R : racine de son dénominateur

Si deux frac. rationnelles coïncident en une infinité de pts Þ R1=R2

Décomposition en éléments simples :

Q irred normalisé, a Î N*, PÎ K[X], d(P)<d(Q) alors $ ! (P1 ... Pa )Î K[X]a tq :

avec " iÎ [[1,a ]], d(Pi) d(Q(X))

Recherche des parties polaires dordre 1 et 2 :

1 R(X)=A/(X-a)+R1(X) ( =P(X)/((X-a)Q1(x)) )

A=P(a)/Q1(a)=P(a)/Q(a)

2 avec B=P(a)/Q2(a) et P(a)=AQ2(a)+BQ2(a)

Méthode :

à Intégration des fractions rationnelles :

  1. Intervalle de recherche
  2. Vérifier si R est de la forme P/Pa , vérifier que R nest pas déjà un élément simple
  3. Décomposer en éléments simples
  4. Intégrer terme à terme :

Partie polaire en A/(x-a)a ,primitive en 1/(x-a)a -1 ou en ln ...

2ème partie difficile à intégrer

si a =1 : intégr ò

si a 1 : chgmt de variable u=x+p/2

On effectue une IPP pour trouver une relation de récurrence sur a .

qq chgmt de variables :

Si invariance par xà p -x : u=sin x xà -x : u=cos x xà p +x : u=tan x

Si en sh (x) ou ch(x) : u=exp(x)

si  : u=sin t  : u=tan t  : u=ch t


Retour au menu principal