à Propriétés affines des R-espaces vectoriels :

T={t(u),uÎ E} est stable pour o.

M(W ,B)(P)=M(B)( W P)

R(W ,B) et R(W ,B) 2 repères posons C=M(R)(W ) et P=P(B,B)

M(R)(Q)=P*M(R)(Q)+C

Barycentre : $ ! GÎ E | " W Î E, G=W +

Variété affine : A va Û $ F ss ev de E, $ uÎ E | A=t(u)(F)

$ ! Va dirigée par F contenant W

2 va sont parallèles au sens propre si leur directeurs sont égaux et au sens généralisé sils sont inclus lun dans lautre.

AÌ E, A convexe Û elle est stable par barycentres à coef. positifs. (Toute va et tt segment est convexe).

Applications affines : E Î R-ev, applic affine : Eà E $ j Î L(E) et uÎ E | f=t(u)oj (ils sont uniques).

!!! : F représente une fct et f son endomorphisme associé.

(F(A)F(B))=f(AB) et F(A+u)=F(A)+f(u) (FoG)=f o g

homothétie : h(M)= W +k W M

affinité de base E1 de dir E2 de rapport k p projection sur E1 p à E2, alors " MÎ E, a(M)=p(M)+k p(M)M

à Systèmes déquations linéaires :

(E)

A de t.g. a(i,j) B de t.g. b(i) X de t.g. x(i)

(x1..xn) est sol de (E) Û AX=B

rg(E)=rg(A)

Lens des sol de (e) est un ss ev de Kp de dim p-r

S est soit vide soit une va dirigée par s

  1. est de Cramer : si p=n=r (autant deq que dinc et le rang est max.)

à Un syst de Cramer a une sol unique.

La sol de (E) est (x1...xn) avec " iÎ [[1,n]], xi=det(Ai)/det(A) où Ai est obtenue en remplaçant dans A la i ieme colonne par B.

Méthode du pivot de Gauss :

On peut appliquer des opérations élém. sur un syst. sans changer les sol (suppression deq 0=0, échange de 2 eq, echange de la place de 2 inconnues, mult dune eq par l ¹ 0, ajout à une eq. une c.l. des autres ).

On transforme le système en système pseudo-triangulaire à diagonale partout non nulle.

Sil y a des sol : (x1...xp) sol principales et (x(p+1)...xn) sol paramétrantes.


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